¿En cúantos ceros termina el número 100! ?

Respuesta:

Aunque no es fácil recordar exactamente el camino seguido desde el comienzo  del problema hasta alcanzar la solución.Veamos:

Paso 1: Lo primero que uno busca es encontrar elementos en los cuales basarse para enfocar el problema. Al empezar, todo suele parecer muy complicado, pero con sólo dejar correr libremente el pensamiento, empiezan a perfilarse puntos de apoyo.

Paso 2: Lo primero que hice , fue intentar alcanzar la solución por fuerza bruta es bastante complicado, aunque no imposible. ¿Cómo  se puede reducir el problema con ideas mas sencillas?

Paso 3: Comencé considerando que el número final debía terminar en: al menos tantos ceros como múltiplos de diez existen entre 1 y 100 inclusive.

Paso 4: Lo siguiente que hice fue simplemente observar:
-a)  Cualquier producto que diera por resultado 10, nos daría ceros adicionales,
-b)  El único producto de números enteros que da diez es 2·5.
-c)  Multiplicando entre sí sólo números enteros.

Paso 5: Observé que podía olvi darme de los múltiplos de diez, porque todos ellos son cosecuencia de al menos un producto 2·5.

Paso 6: Como al final de cuentas cualquier factorial es un producto de números primos, algunos de los cuales se repiten, osea están elevados a determinada potencia, el problema quedaba reducido a determinar cuántos pares 2·5 existían en 100!
Ahora yo tenía que contar los pares pero tratando de hacerlo  de la forma más sencilla posible.

Paso 7: Al buscar otra forma de contar, recordé que no me interesaba saber cuántas veces está el número dos como factor de 100! Bastaba saber cuántas veces estaba el par 2·5. De nada me serviría saber cuántas veces estaba el número dos si no averiguaba también cuantas veces estaba el número cinco.

Paso 8: Descubrí que el dos se repetía muchas veces más que el cinco. Por lo tanto no me interesaba saber cuántas veces estaba el dos. El límite al número de pares lo imponía la cantidad de cincos, porque al ser cinco mayor que dos está presente menos veces. Si se podían contar los cincos, el problema estaba resuelto. `

Paso 9: Pero en ambos casos del 2 y del 5, la terminación no nos dice cuantas veces está el dos o el cinco, y eso es lo que hacía falta saber. Con el dos era complicado, pero con el cinco era muy fácil.


Paso 10: Dado que 5 al cubo es más que 100, el cinco podía estar a lo sumo dos veces en cada uno de los números que forman 100!.
Ahora bien: ¿En qué números menores que 100 se encuentra 5 al cuadrado? Únicamente en el 25 y sus múltiplos: 50,75 y 100. En todos los demás casos el 5 está sólo una vez como factor, y está cada 5 números. Basta hacer 100/5 para saber que hay 20 números, incluyendo el 100, que tienen al 5 como factor. Cuatro de esos números tienen al cinco dos veces. Por lo tanto hay 24 cincos.

Paso 11: Ya estaba. Si el 5 está 24 veces y el dos sobra, 100! debe terminar en 24 ceros.