Algoritmo de Euclides

¿Cómo averiguar el máximo común divisor?

    El 8 es el máximo común divisor

Algoritmo de la división entera

Fórmula:
D=d·c+r           r es siempre menor que d

Ejemplo:

56=24·2+8      8 es menor que 24
   

                        

Propiedad distributiva

De una multiplicación respeto de la suma   

De una división respeto de la suma

fracciones egipcías

fracción egipcia (también llamada fracción unitaria, es decir, de fracciones de numerador 1 y cuyos denominadores sean enteros positivos distintos.

Me gustan los problemas

Trata sobre un  señor que nos dice que los problemas de matemáticas que más le gusta hacer son los que tienen más de una respuesta.
Uno de los problemas que nos cuenta  es:  si un tren sale dirección a Cadiz y otro dos horas mas tarde de Cadiz a Madrid cual esta mas cerca de Cádiz.
Una niña le manda un correo en el que pone el tren de adiz esta mas cerca porque la parte trasera del tren está más cerca.
Luego otro niño de diez años dice que el tren que va de Madrid a Cádiz esta llegando y el otro no sabe cuando  volverá.

Diferencia entre un número decimal mixto y puro

MIXTO:
Una expresión periódica mixta tiene su parte decimal formada por un período (al igual que la anterior), pero además tiene una parte no periódica a continuación de la coma que no se repite.
Ej: 1, 46666... - 0, 82323... - 4, 0587587...


PURO:
Una expresión periódica pura es aquella en la cual la parte decimal sólo está compuesta por un período que se repite indefinidamente. Este período puede tener una o más cifras.
Ej: 1, 6666... - 0,232323... - 4,587587...

Conjetura de Collatz

Elijamos un número natural, digamos n, y realicemos los siguientes cálculos:

• Si n es par dividámoslo por 2
• Si n es impar multipliquémoslo por 3 y sumémosle 1 al resultado

Con el número obtenido repitamos el proceso, y así sucesivamente. Hagámoslo con un ejemplo:

n = 6
La secuencia que obtenemos es:
6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Vemos que en unos cuantos pasos hemos llegado al número 1. Pues eso mismo es lo que dice la conjetura de Collatz (también conocida como conjetura 3n + 1, conjetura de Ulam o problema de Siracusa):

Conjetura de Collatz
Para cualquier número natural n realicemos los siguientes cálculos:

• Si n es par dividámoslo por 2
• Si n es impar multipliquémoslo por 3 y sumémosle 1 al resultado

Repitiendo el proceso con los números obtenidos la secuencia siempre acabará en 1

Dibujar una raíz cuadrada de 5

Las matemáticas son para siempre

Nuestro profesor de matemáticas nos ha puesto un video interesante , así que aquí os dejo el video para que podáis verlo:

En el video de Eduard, nos cuenta  que hay dos  tipos de personas en matemáticas,

-Estan las que cuentan que las matemáticas están detrás de todo lo que nos rodea

-Estan las que cuentan que las matemáticas tiene sentido.

-Aunque nos dice el señor Eduard, que hay también un 0´8 %, donde dice que se incluye el en el 0´8%.

Nos cuenta un ejemplo: nos dice que si una hoja  es lo suficientemente grande para poder doblarla 50 veces, pues es que alcanza el grosor de la distancia que hay de la Tierra al Sol.

Nos comenta que lo que dura para siempre es un teorema, por ejemplo: el teorema de Pitágoras, que aunque esté muerto, será para siempre verdad, que donde haya un par de catetos y una buena hipotenusa el teorema seguirá para siempre.

Nos cuenta otro ejemplo: dice que quiere cubrir un campo de fútbol con una figura, sin dejar ningún hueco, ¿que figura sería ?, dijo Papuus que era el hexágono, pero no lo demostró, entonces se quedo en na conjetura,pero 1500 años después, se demostró que era verdad.

Después  dijo que para cubrir un espacio en tres dimensiones, ¿que pieza sería la mas correcta?. Kelvin dijo que eran un octaedro truncado, pero no lo demostró, así que se quedo en una conjetura. Pero años después, Wheaire y Phelan, negaron la conjetura de kelvin, que la mejor pieza era una que nos mostró  en la charla.

Y para acabar nos dice que si quieres a alguien de verdad, regálale un diamante, pero que si quieres a alguien para siempre, regálale una conjetura.

Los diez mejores científicos

Stephen Hopkin

   
 Hay una película sobre él  muy interesante, y  cuenta todo lo que le pasó y cómo se quedó en una silla de ruedas sin movilidad , además con el tiempo ,su enfermedad empeoró y se quedó sin voz, pero lo más impresionante es que el seguía investigando hasta lograr  su objetivo, que era mostrar que la teoría general de la relatividad de Einstein implicaba que el espacio y el tiempo han de tener un principio en el big bang y un final dentro de agujeros negros.


Isaac Newton

    
Newton  fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos.


Marie Curie

 

Sus logros incluyen los primeros sobre el fenómeno de la radiactividad, técnicas para el aislamiento de isótopos radiactivos y el descubrimiento  de dos elementos:
El polonio y el radio
Bajo su dirección  se llevaron a cabo los primeros estudios en el tratamiento de neoplasias con isótopos radiactivos. Fundó el Instituto Curie en París y en Varsoviana, que se mantienen entre principales centros de investigación médica en la actualidad. Durante la Primera Guerra Mundial creó los primeros centros radiológicos para uso militar.


Nicola Tesla


  


Fue un inventor, ingeniero mecánico, eléctrico y físico de origen serbio. Se le conoce sobre todo por sus numerosas invenciones en el campo del electromagnetismo, desarrolladas a finales del siglo XIX y  a principios  del siglo XX. los patentes de Tesla y su trabajo teórico ayudaron a forjar las bases de los sistemas modernos para el uso de la energía eléctrica por corriente alterna, incluyeron el sistema polifásico de distribución eléctrica  y el motor de corriente alterna, que contribuyeron al surgimiento de la Segunda Revolución Industrial.


Carl Sagan

   En 1961,realizó importantes investigaciones sobre la atmosfera y superficie de Venus, que demostraron que la temperatura del planeta era superior  los 300 grados centígrados, debido a efectos invernaderos que atrapaba el calor, lo cual hacía imposible la vida en este planeta. Estas investigaciones fueron corroboradas por expediciones espaciales posteriores.
Sin embargo este renombrado astrónomo es famoso por sus investigaciones sobre el inicio de la vida y por afirmar que existe vida en otros planetas del Universo. Participó en las expediciones espaciales Mariner, Viking y Voyager.


Galileo Galilei

Eminente hombre del Renacimiento, mostró interés por casi todas las ciencias y artes. Sus logros incluyen la mejora del telescopio, gran variedades de observaciones astronómicas, la primera ley del movimiento y u apoyo  determinante  a la Revolución de Copérnico.
Su trabajo experimental es considerado complementario a los escritos de Francis Bacon en el establecimiento del moderno método científico y su carrera científica es complementaria de Johannes Kepler.

Albert Einsten
 
Es considerado como el científico mas conocido y popular del siglo XX
Público su teoría de la relatividad espacial, en la que formulo por completo el concepto de gravedad.


David Faiman






Michael Faraday


Trabajo mucho con la electroquímica y con el electromagnetismo
Gracias a él, hoy contamos con conocimientos sobre, por ejemplo:
-La inducción eléctrica
-La electrólisis

${\displaystyle f(n)={\begin{cases}{\tfrac {n}{2}},&{\mbox{si }}n{\mbox{ es par}}\\3n+1,&{\mbox{si }}n{\mbox{ es impar}}\en$

Primos de mersenne

sm  la forma 2 elevado a n-1

n=1=1:no es primo
n=2=3 es primo
n=3=7 es primo
n=4=15 3.5 no es primo
n=5=31 primo
n=6= 63 es multiplo de 3.no es primo
n=7=127 primo
n=8=255 no es primo
n=9=511 multiplo de 7 .no es primo
n=10=1023 multiplo de 3 .no es primo
n=11=2047 multiplo de 23 no es primo
n=12=4095 multiplo de 5. no es primo
n=13=8191 primo

¿Cómo dividir un segmento en partes iguales ?

Ejercicio resuelto

a) 3 · (2 − 7) − 5 · (3 − 6) + 2 · ( 8 − 15 ) + 4 · (11 − 9)=-6

b) (4 − 6) · (8 − 3) − (5 − 9) · (1 − 7) + 18 = -16

c) 3 · (5 − 9 + 2) − 8 · (3 − 6 − 2) + 4 · (5 − 12) =6
d) 20 − 2 · [10 − 3 · (6 − 9)] =-18
e) 18 + 3 · (8 − 12) − 4 · [5 − 3 · (6 + 3 − 5 · 2 )] =-26
f) 21 − 8 · (10 − 4) + (8 − 11) · [5 + (3 − 6) · (8 − 2)] =12
g) 6 · [5 − 2 · (8 −13)] − 5 · [9 − 3 · (6 − 10)] =-15
h) (2 − 5) · [4 − 3 · (4 − 9)] − ( 2 − 7) · [15 − 2 · (9 − 4)] = -32

Ternas pitagóricas

Una terna pitagórica consiste en una tupla de tres enteros positivos a, b, c que cumplen que a² + b² = c². El nombre deriva del teorema de Pitágoras, el cual plantea que en cualquier triángulo rectángulo, se cumple que x² + y² = z² (siendo x e y las longitudes enteras de sus catetos y z la de la hipotenusa).

¿Cúantas veces aparece el 2 como factor en el número 100! ?

Resolución:

2(lo añadimos al final)

4 = 2 * 2                      2

6 = 2 * 3                      3

8 = 2 * 2 * 2                  6

9 = 3 * 3

10 = 2 * 5                     7

12 = 2 * 2 * 3                 9

14 = 2 * 7                     10

15 = 3 * 5

16 = 2 * 2 * 2 * 2             14

18 = 2 * 3 * 3                 15

20 = 2 * 2 * 5                 17

21 = 3 * 7

22 = 2 * 11                    18

24 = 2 * 2 * 2 * 3             21

25 = 5 * 5

26 = 2 * 13                    22

27 = 3 * 3 * 3

28 = 2 * 2 * 7                 24

30 = 2 * 3 * 5                 25

32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 30

33 = 3 * 11

34 = 2 * 17                    31

35 = 5 * 7

36 = 2 * 2 * 3 * 3             33

38 = 2 * 19                    34

39 = 3 * 13

40 = 2 * 2 * 2 * 5             37

42 = 2 * 3 * 7                 38

44 = 2 * 2 * 11        40

45 = 3 * 3 * 5

46 = 2 * 23                    41

48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 45

49 = 7 * 7

50 = 2 * 5 * 5                 46

51 = 3 * 17

52 = 2 * 2 * 13        48

54 = 2 * 3 * 3 * 3             49

55 = 5 * 11

56 = 2 * 2 * 2 * 7             52

57 = 3 * 19

58 = 2 * 29                    53

60 = 2 * 2 * 3 * 5             55

62 = 2 * 31                    56

63 = 3 * 3 * 7

64 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2     62

65 = 5 * 13

66 = 2 * 3 * 11        63

68 = 2 * 2 * 17        65

69 = 3 * 23

70 = 2 * 5 * 7                 66

72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 69

74 = 2 * 37                    70

75 = 3 * 5 * 5

76 = 2 * 2 * 19        7281 = 3 * 3 * 3 * 3

82 = 2 * 41                    78

84 = 2 * 2 * 3 * 7             80

85 = 5 * 17

86 = 2 * 43                    81

87 = 3 * 29

88 = 2 * 2 * 2 * 11            84

90 = 2 * 3 * 3 * 5             85

91 = 7 * 13

92 = 2 * 2 * 23        87

93 = 3 * 31

94 = 2 * 47                    88

95 = 5 * 19

96 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3     93

98 = 2 * 7 * 7                 94

99 = 3 * 3 * 11

100 = 2 * 2 * 5 * 5            96 + 1 = 97

77 = 7 * 11

78 = 2 * 3 * 13        73

80 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 77

Ternas pitagóricas

Instituciones de la Unión Europea

Construcción de la unión europea

¿Cúantas veces aparece el 2 como factor en el número 100! ?

Os daré la respuesta mañana.
Pensarlo

¿En cúantos ceros termina el número 100! ?

Respuesta:

Aunque no es fácil recordar exactamente el camino seguido desde el comienzo  del problema hasta alcanzar la solución.Veamos:

Paso 1: Lo primero que uno busca es encontrar elementos en los cuales basarse para enfocar el problema. Al empezar, todo suele parecer muy complicado, pero con sólo dejar correr libremente el pensamiento, empiezan a perfilarse puntos de apoyo.

Paso 2: Lo primero que hice , fue intentar alcanzar la solución por fuerza bruta es bastante complicado, aunque no imposible. ¿Cómo  se puede reducir el problema con ideas mas sencillas?

Paso 3: Comencé considerando que el número final debía terminar en: al menos tantos ceros como múltiplos de diez existen entre 1 y 100 inclusive.

Paso 4: Lo siguiente que hice fue simplemente observar:
-a)  Cualquier producto que diera por resultado 10, nos daría ceros adicionales,
-b)  El único producto de números enteros que da diez es 2·5.
-c)  Multiplicando entre sí sólo números enteros.

Paso 5: Observé que podía olvi darme de los múltiplos de diez, porque todos ellos son cosecuencia de al menos un producto 2·5.

Paso 6: Como al final de cuentas cualquier factorial es un producto de números primos, algunos de los cuales se repiten, osea están elevados a determinada potencia, el problema quedaba reducido a determinar cuántos pares 2·5 existían en 100!
Ahora yo tenía que contar los pares pero tratando de hacerlo  de la forma más sencilla posible.

Paso 7: Al buscar otra forma de contar, recordé que no me interesaba saber cuántas veces está el número dos como factor de 100! Bastaba saber cuántas veces estaba el par 2·5. De nada me serviría saber cuántas veces estaba el número dos si no averiguaba también cuantas veces estaba el número cinco.

Paso 8: Descubrí que el dos se repetía muchas veces más que el cinco. Por lo tanto no me interesaba saber cuántas veces estaba el dos. El límite al número de pares lo imponía la cantidad de cincos, porque al ser cinco mayor que dos está presente menos veces. Si se podían contar los cincos, el problema estaba resuelto. `

Paso 9: Pero en ambos casos del 2 y del 5, la terminación no nos dice cuantas veces está el dos o el cinco, y eso es lo que hacía falta saber. Con el dos era complicado, pero con el cinco era muy fácil.


Paso 10: Dado que 5 al cubo es más que 100, el cinco podía estar a lo sumo dos veces en cada uno de los números que forman 100!.
Ahora bien: ¿En qué números menores que 100 se encuentra 5 al cuadrado? Únicamente en el 25 y sus múltiplos: 50,75 y 100. En todos los demás casos el 5 está sólo una vez como factor, y está cada 5 números. Basta hacer 100/5 para saber que hay 20 números, incluyendo el 100, que tienen al 5 como factor. Cuatro de esos números tienen al cinco dos veces. Por lo tanto hay 24 cincos.

Paso 11: Ya estaba. Si el 5 está 24 veces y el dos sobra, 100! debe terminar en 24 ceros.

técnica

ejdjebcbc

Matemáticas

¿En cúantos ceros termina el resultado del número 100! ?


Os dejo pensarlo y os daré la respuesta mañana .

Factorial de un número natural

Recurrencia

1!= 1

2!= 2·1=2

3!=3·2·1=6

4!=4·3·2·1=24

5!=5·4·3·2·1=120

6!=6·5·4·3·2·1=720

7!=7·6·5·4·3·2·1=5040

8!=8·7·6·5·4·3·2·1=40320

Si nos damos cuenta al multiplicar el resultado del factorial de un número por el siguiente número factorial que queremos hacer ,nos da su resultado . Por ejemplo: