Ecuaciones

POLINOMIO                                                          FUNCIÓN
  8x+3                                                                        8x+3
indeterminada                                                         variable


                                                                           Tabla de valores
                                                                              x | 8x+3=y
                                                                             -1|  -5 (-1,-5)
                                                                              0|    3 (0,3)
                                                                              1|  11 (1,11)
                                                                         HACER GRÁFICA




Raíz de un polinomio ( porque lo veo como un polinomio)
8x+3=0 ( la x se llama incógnita)
Es una ecuación polinómica de grado 1


Cero de una función
8x+3=0
ecuación polinómica de grado 1

TEOREMA DE FACTOR

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x − a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).

el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio. Es un caso especial del teorema del resto.

El teorema del factor establece que un polinomio $$ P ( x ) {\displaystyle P(x)} tiene un factor $$ ( x − k ) {\displaystyle (x-k)} si y sólo si $$ k {\displaystyle k} es una raíz de $$ P ( x ) {\displaystyle P(x)} , es decir que $$ P ( k ) = 0 {\displaystyle P(k)=0} .

Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Calcular, por el teorema del resto, el resto de la división:

(x⁴ − 3x² + 2) : (x − 3)

P(3) = 3⁴ − 3 · 3² + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Comprobamos la solución efectuando la división por Ruffini.

RUFFINI

 ¿Qué es la regla o método de Ruffini y para que se utiliza? La regla de Ruffini es un método que permite:

• Resolver ecuaciones de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …)
• Dividir un polinomio entre un binomio que sea de la forma x-a
• Factorizar polinomios de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …)
• Calcular las raíces de polinomios de grado mayor o igual a 3

Para resolver ecuaciones de primer grado utilizamos un método, para las ecuaciones de segundo grado se utiliza otro método y para resolver las ecuaciones de tercer grado o mayor, o dicho de otra forma, para ecuaciones de grado superior a dos, se utiliza el método de Ruffini.

Con la regla de Ruffini, solamente se obtienen las soluciones enteras. Si la ecuación tiene soluciones complejas o reales, éste método no es válido.

Veremos que para obtener las soluciones de la ecuación, previamente hay que factorizar, por lo que con el mismo ejemplo explicaremos ambos conceptos.

Vamos a resolver un ejemplo explicando paso por paso.

Tenemos la siguiente ecuación:

1 – Identificamos los coeficientes de cada término, que son los números que van delante de la incógnita. Para la ecuación anterior, los represento en verde para identificarlos:

2 – Trazamos dos líneas perpendiculares de esta forma:

3 – Colocamos los coeficientes ordenados por su grado de mayor o menor:
En la regla de Ruffini, el grado va disminuyendo de 1 en 1 y cada grado tiene su lugar. Por ejemplo si no tuviérmos ningún término que tenga x², en el lugar del grado 2, se colocaría un 0.
Los números que hemos escrito hasta ahora en el método de Ruffini, es equivalente a escribir la ecuación, es decir:

4 – Ahora escribimos un número a la izquierda de la línea vertical. Más adelante explicaremos qué número colocar aquí y por qué. De momento, empezamos con el 1.
Ese número corresponde al número (a) del binomio x – a:

En este caso, escribir ahí un 1, significa el binomio (x – 1) en el método de Ruffini

5 – Empezamos a ejecutar el método. El primer hueco de la segunda fila, siempre se deja libre:

6 – Se hace la suma de la primera columna y el resultado de pone abajo:

7 – Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la primera columna. El resultado se coloca en el hueco de la segunda columna:

8 – Se realiza la suma de la segunda columna:

9 – Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la segunda columna. El resultado se coloca en el hueco de la tercera columna:

10 – Así sucesivamente hasta completar todas las columnas:

El objetivo es que en la última columna tengamos un 0. Esta es la explicación de qué número colocar a la izquierda de la línea:

Si no tenemos un cero, tendríamos que probar con otro número a la izquierda de la línea vertical y reiniciar el proceso.